سیستم های کسر تعریف و خواص باقیمانده عملیات مدولو

با توجه به ویژگی مقایسه شماره 15، اعداد مدول کلاس یکسان متربا ماژول داشته باشید مترهمان GCD کلاس هایی که برای آنها برابر با 1 است اهمیت ویژه ای دارند.

با گرفتن یک عدد از هر یک از این کلاس ها، به دست می آوریم کاهش سیستم کسوراتمدول متر. معمولاً از سیستم باقیمانده های مدول حداقل غیرمنفی جدا می شود متر.

سیستم کاهش یافته از حداقل باقی مانده های مدول غیر منفی مترنشان داده شده با U متر.

تعداد اعداد در سیستم مدول داده شده باقیمانده ها متر، بدیهی است که برابر با φ( متر).

مثال:

سیستم داده شده از کسر مدول 15 (1؛ 2؛ 4؛ 7؛ 8؛ 11؛ 13؛ 14) است. توجه داشته باشید که φ(15)=(5-1)∙(3-1)= 8 و در واقع، در سیستم داده شده از مدول باقیمانده 15 دقیقاً 8 عنصر وجود دارد.

بیانیه 1

هر φ( متر) اعدادی که به صورت جفتی از نظر مدول قابل مقایسه نیستند مترو coprime با متر، یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده ها را تشکیل می دهند.

(اثبات مطابق عبارت 1، بند 2 واضح است)

بیانیه 2

اگر ( آ, متر) = 1, ایکساز طریق سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر، آن تبرهمچنین از طریق سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر. (اثبات همان طور که در عبارت 2، بند 2 آمده است آشکار است).

عنصر معکوس

می گویند که عنصر بتماس گرفت معکوسبه آمدول متر، اگر a∙b≡1(Mod متر)، و بنویس ب ≡ آ-1 (Mod متر).

به طور کلی، نظریه اعداد کلاسیک به چنین مفهومی به عنوان عنصر معکوس نیاز ندارد، همانطور که می توان با خواندن، به عنوان مثال، مشاهده کرد. با این حال، رمزنگاری از سیستم‌های باقیمانده در دو جنبه نظری اعداد و جبری استفاده می‌کند و بنابراین، برای سهولت ارائه مبانی جبری رمزنگاری، مفهوم عنصر معکوس را معرفی می‌کنیم.

این سوال مطرح می شود: آیا برای همه عناصر این ماژول درست است؟ متریک معکوس (با ضرب) وجود دارد، و اگر برای برخی از عناصر معکوس وجود دارد، چگونه آن را پیدا کنیم؟

برای پاسخ به این سوال از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته استفاده می کنیم. بیایید ابتدا اعداد همزمان اول را در نظر بگیریم آو ماژول متر. سپس بدیهی است ( آ,متر)=1. الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته به شما امکان می دهد اعداد را بدست آورید ایکسو y، به طوری که تبر + من =(آ,متر)، یا، که همان است، تبر + من=1. از آخرین عبارت مقایسه را دریافت می کنیم تبر + من≡1(Mod متر). زیرا من≡0(Mod متر) آن تبر≡1(Mod متر) که به معنای عدد به دست آمده با استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته است ایکسدقیقاً عنصر معکوس مورد نظر نسبت به عدد است آمدول متر.

مثال.

آ=5, متر=7. نیاز به پیدا کردن آ-1 مد متر.

بیایید از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته استفاده کنیم.

معکوس:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

ایکس=3, y=–2.

5 -1 ≡3 (Mod 7)

بررسی کنید: 5∙3=15. 15≡1 (Mod 7).

در واقع، 3 معکوس 5 مدول 7 است.

بنابراین، ما به طور سازنده تأیید کرده‌ایم که برای اعدادی که با یک مدول همزمان هستند، نسبت به این مدول معکوس وجود دارد. آیا عناصر معکوس برای اعدادی وجود دارند که نسبت به مدول خود هم اول نیستند؟

اجازه دهید ( آ,متر)=د≠1. سپس a و m را می توان به شکل نشان داد آ=د∙آ 1 , متر=د∙متر 1 . فرض کنید برای a یک عنصر معکوس مدول m وجود دارد، یعنی ب: آ∙ب≡1(Mod متر). سپس آ∙b= m∙ک+1. یا همان چیست، د∙آ 1 ∙b=d∙متر 1 ∙ک+1. اما پس از آن، توسط قضیه 2 از §1 p.1، به دلیل این واقعیت است که هر دو سمت چپ این معادله و جمله اول در سمت راست به د، آن د\1، اما این درست نیست، زیرا د≠1. ما به تناقض رسیدیم، بنابراین فرض وجود عنصر معکوس نادرست است.

در پاراگراف قبل ذکر شد که نسبت  مترمدول مقایسه پذیری دلخواه متریک رابطه هم ارزی روی مجموعه اعداد صحیح است. این رابطه هم ارزی باعث تقسیم مجموعه اعداد صحیح به کلاس هایی از عناصر معادل یکدیگر می شود، یعنی. اعدادی که با تقسیم بر مترتعادل های یکسان تعداد کلاس های هم ارزی  متر(کارشناسان خواهند گفت - "شاخص هم ارزی  متر") دقیقاً برابر است متر.

تعریف.هر عددی از کلاس هم ارزی  مترما آن را باقیمانده مدولو می نامیم متر. مجموعه ای از کسرهایی که از هر کلاس معادل  یک کسر گرفته می شود متر، یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول نامیده می شود متر(بنابراین در سیستم کامل کسرها فقط m عدد وجود دارد). خود باقیمانده وقتی تقسیم بر مترکوچکترین باقیمانده های غیر منفی نامیده می شوند و البته یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول را تشکیل می دهند. متر. کسر ρ مطلقا کوچکترین نامیده می شود اگر ⎪ ρ ⎪ کوچکترین در میان ماژول های باقیمانده این کلاس.

مثال: اجازه دهید متر= 5. سپس:

0، 1، 2، 3، 4 - کوچکترین باقی مانده های غیر منفی.

2، -1، 0، 1، 2 کوچکترین کسر مطلق هستند.

هر دو مجموعه اعداد داده شده، سیستم های کاملی از مدول 5 باقی مانده را تشکیل می دهند.

لم 1. 1) هر مترقطعاتی که از نظر مدول قابل مقایسه نیستند متراعداد یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول را تشکیل می دهند متر.

2) اگر آو مترنسبتا ساده هستند و ایکساز طریق سیستم کامل باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر، سپس مقادیر فرم خطی آایکس + ب، جایی که ب- هر عدد صحیح، همچنین از طریق سیستم کامل باقیمانده های مدول اجرا می شود متر.

اثباتبیانیه 1) واضح است. اجازه دهید عبارت 2) اعداد را اثبات کنیم آایکس+بصاف مترچیزها اجازه دهید نشان دهیم که آنها در مدول قابل مقایسه نیستند متر. خوب بگذارید برای برخی متفاوت باشد ایکس 1 و ایکس 2 از سیستم کامل کسر معلوم شد که تبر 1 + ب ≡ تبر 2 + ب(mod m). سپس با توجه به ویژگی های مقایسه های پاراگراف قبل، به دست می آوریم:

تبر 1 ≡ تبر 2 (Mod متر)

ایکس 1 ≡ ایکس 2 (Mod متر)

- تناقض با این واقعیت که ایکس 1 و ایکس 2 متفاوت و برگرفته از سیستم کامل کسورات است.

از آنجایی که تمام اعداد از یک کلاس معادل معین  متراز یک عدد از یک کلاس معین با جمع کردن یک عدد مضرب به دست می آیند متر، پس همه اعداد از این کلاس دارای مدول هستند مترهمان بزرگترین مقسوم علیه مشترک به دلایلی، کسرهایی که با ماژول انجام می‌شوند، مورد توجه بیشتر قرار می‌گیرند متربزرگترین مقسوم علیه مشترک برابر با یک، یعنی. باقی مانده هایی که با مدول کوپرایم هستند.

تعریف.سیستم کاهش یافته کسر مدول مترمجموعه ای از تمام باقیمانده ها از سیستم کامل است که coprime تا مدول است متر.

سیستم کاهش یافته معمولاً از کمترین باقیمانده های غیرمنفی انتخاب می شود. واضح است که سیستم داده شده از باقی مانده های مدول مترشامل ϕ (متر) قطعات کسر، که در آن ϕ (متر) – تابع اویلر – تعداد اعداد کمتر از مترو coprime با متر.

تابع اویلر

تابع اویلر ϕ (آ) تعداد اعداد از سری 0، 1، 2،...، آ-1، coprime با آ.

لمااجازه دهید

تی
چه زمانی:

به طور خاص، φ( پ α) = پ α – پα -1، φ( پ) = پ–1.

مثال. اجازه دهید متر= 42. سپس سیستم داده شده از باقیمانده ها به صورت زیر است:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

لم 2. 1) هر ϕ (متر) اعدادی که به صورت جفتی از نظر مدول قابل مقایسه نیستند مترو همزمان با مدول، یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده های مدول را تشکیل می دهند متر.

2) اگر د(آ, متر) = 1 و ایکساز طریق سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر، آن آایکسهمچنین از طریق سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر.

اثبات. بیانیه 1) واضح است. اجازه دهید گزاره 2 را ثابت کنیم). شماره آایکسبه صورت جفتی غیرقابل مقایسه هستند (این به همان روشی که در لمای 1 این پاراگراف ثابت شده است)، دقیقاً وجود دارد ϕ (متر) چیزها همچنین واضح است که همه آنها نسبت به مدول کوپرایم هستند، زیرا د(آ, متر)=1, د(ایکس,متر)=1 ⇒ د(تبر, متر)=1. بنابراین اعداد آایکسیک سیستم کاهش یافته از باقیمانده ها را تشکیل می دهند.

لم 3.اجازه دهید متر 1 ، م 2 ، ...، م ک – به صورت جفتی نسبتا اول هستند و متر 1 متر 2 ... متر ک = م 1 متر 1 = م 2 متر 2 =...=م ک متر ک ، جایی که م j = متر 1 ... متر j -1 متر j +1...m ک

1) اگر ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس ک اجرا از طریق سیستم های کامل مدول باقی مانده متر 1 ، م 2 ، ...، م ک م 1 ایکس 1 +M 2 ایکس 2 + ... + م ک ایکس ک از طریق سیستم کامل کسرهای مدول اجرا شود m= m 1 متر 2 ... متر ک .

2) اگر ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ ک از طریق مدول سیستم های باقیمانده کاهش یافته اجرا شود متر 1 ، م 2 ، ...، م کبر این اساس، سپس مقادیر فرم خطی م 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ... + م ک ξ کاز سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدول عبور کنید m= m 1 متر 2 ... متر ک .

لم 4.اجازه دهید ایکس 1 ، ایکس 2 ، ...، ایکس ک ، ایکساجرا کامل، و ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ ک , ξ – از طریق سیستم های کاهش یافته مدول باقیمانده اجرا می شود متر 1 ، م 2 ،...، م ک و m=m 1 متر 2 ... متر ک به ترتیب، در کجا (م من متر j )=1 در من≠ j. سپس کسری (ایکس 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x ک /m ک } منطبق با کسرها (x/m)، و کسرها { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ ک /m ک } منطبق با کسرها { ξ /m).

اجازه دهید با نشان دادن ε ک کریشه ام m-ای قدرت وحدت:

اینجا ک=0,1,...,متر-1 - از سیستم کامل باقیمانده های مدول عبور می کند متر.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که مجموع ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 همه ریشه ها مترتوان یک برای هر یک برابر با صفر است متر. در واقع، اجازه دهید ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a. این مقدار را در یک عدد غیر صفر ضرب کنید ε 1 . چنین ضرب هندسی در صفحه مختلط به معنای چرخش صحیح است متر-gon، که در رئوس آن ریشه ε قرار دارد 0 + ε 1 +...+ ε m-1، در یک زاویه غیر صفر 2 π /m. واضح است که در این مورد ریشه ε 0 به ریشه ε می رود 1 ، ریشه ε 1 به ریشه ε می رود 2 و غیره و ریشه ε m-1به ریشه ε می رود 0 ، یعنی مجموع ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 تغییر نخواهد کرد. ما ε داریم 1 a=a، جایی که a=0.

قضیه 1.اجازه دهید m>0- عدد صحیح، آ ز, ایکساز طریق سیستم کامل باقیمانده های مدولو اجرا می شود متر. سپس اگر آچندگانه متر، آن

در غیر این صورت، اگر آچندگانه نیست متر,

قضیه 2.اجازه دهید m>0یک عدد صحیح است، ξ از سیستم مدول کاهش یافته باقیمانده ها عبور می کند متر. سپس (مجموع ریشه های ضد مشتق درجه متر):

کجا μ( متر) – تابع موبیوس.

سیستم کامل کسر سیستم داده شده از کسر. رایج ترین سیستم های کسر عبارتند از: حداقل مثبت، حداقل غیر منفی، مطلقا حداقل، و غیره.

قضیه 1. ویژگی های سیستم کامل و کاهش یافته باقیمانده ها.

1 درجه. معیار یک سیستم کامل کسر. هر مجموعه ای از متراعداد صحیحی که به صورت جفتی از نظر مدول غیرقابل مقایسه هستند متر، یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول را تشکیل می دهد متر.

2 درجه اگر اعداد ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x m- یک سیستم کامل از کسر مدول متر, (آ, متر) = 1, بیک عدد صحیح دلخواه است، سپس اعداد تبر 1 +ب, تبر 2 +ب, ..., تبر م+بهمچنین یک سیستم کامل از کسر مدول را تشکیل می دهند متر.

3 درجه. معیار سیستم کاهش یافته کسرها. هر مجموعه ای متشکل از j( متر) اعداد صحیحی که به صورت زوجی از نظر مدول غیر قابل مقایسه هستند مترو coprime با مدول، یک سیستم کاهش یافته از باقی مانده های مدول را تشکیل می دهد متر.

4 درجه اگر اعداد ایکس 1 , ایکس 2 , ..., ایکس j ( متر) – سیستم کاهش یافته باقیمانده های مدولو متر, (آ, متر) = 1، سپس اعداد تبر 1 , تبر 2 , ..., تبر j ( متر) همچنین یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده های مدول را تشکیل می دهند متر.

قضیه 2.قضیه اویلر.

اگر اعداد آو مترپس نسبتاً اول آ j ( متر) º 1 (Mod متر).

نتیجه.

1 درجه قضیه فرما. اگر پ- عدد اول و آقابل تقسیم بر پ، آن یک صفحه-1 º 1 (Mod پ).

2 درجه قضیه تعمیم یافته فرما. اگر پپس یک عدد اول است یک صفحه º آ(Mod پ) برای هرچی آÎ ز .

§ 4. حل مقایسه با یک متغیر

حل مقایسه ها معادل سازی. درجه مقایسه

قضیه. خواص راه حل های مقایسه

1°. راه حل های مقایسه، کل کلاس های باقی مانده هستند.

2 درجه (" ک)(یک ک º b k(Mod متر))Ù ک= Þ مقایسه º 0 (Mod متر) و º 0 (Mod متر) معادل هستند.

3 درجه. اگر هر دو طرف مقایسه را در یک عدد هم اول در مدول ضرب کنیم، مقایسه ای به دست می آید که معادل اصلی است.

4 درجه هر گونه مقایسه پرایم مدول پمعادل مقایسه ای است که درجه آن تجاوز نمی کند پ–1.

5 درجه مقایسه º 0 (Mod پ)، جایی که پ– عدد اول، بیشتر از nراه حل های مختلف

6 درجه قضیه ویلسون ( n-1)! º -1 (Mod n) Û nعدد اول.

§ 5. حل مقایسه درجه اول

تبر º ب(Mod متر).

قضیه. 1 درجه اگر ( آ, متر) = 1، سپس مقایسه یک راه حل دارد و یک راه حل منحصر به فرد.

2 درجه اگر ( آ, متر) = دو بقابل تقسیم بر د، پس مقایسه راه حلی ندارد.

3 درجه. اگر ( آ, متر) = دو بتقسیم بر د، سپس مقایسه شده است دمحلول های مختلف که یک کلاس از مدول باقی مانده را تشکیل می دهند.

راه حل مقایسه تبر º ب(Mod متر) در صورتی که ( آ, متر) = 1:

1) انتخاب (انتخاب عناصر سیستم کامل کسر).

2) استفاده از قضیه اویلر.

3) استفاده از الگوریتم اقلیدسی.

4) تغییر ضرایب (استفاده از خاصیت 2 درجه سیستم کامل باقیمانده از قضیه 2.2).

§ 6. معادلات نامشخص درجه اول

تبر+توسط = ج.

قضیه. معادله تبر+توسط = جقابل حل اگر و فقط اگر ج (آ, ب).

چه زمانی ( آ, ب) = 1 تمام راه حل های معادله با فرمول داده شده است

تیÎ ز ، جایی که ایکس 0 یک راه حل مقایسه است

تبر º ج(Mod ب), y 0 = .

معادلات دیوفانتین

فصل 10. اعداد مختلط

تعریف سیستم اعداد مختلط وجود سیستمی از اعداد مختلط

تعریف سیستم اعداد مختلط

قضیه. سیستمی از اعداد مختلط وجود دارد.

مدل: آر 2 با عملیات

(آ, ب)+(ج, د) = (آ+ج, ب+د), (آ, ب)×( ج, د) = (ac–bd, قبل از میلاد مسیح+آگهی),

من= (0، 1) و شناسایی آ = (آ, 0).

شکل جبری اعداد مختلط

نمایش یک عدد مختلط به عنوان z = آ+دو، جایی که آ, بÎ آر , من 2 = -1. منحصر به فرد بودن چنین نمایندگی. Re zمن هستم z.

قوانین انجام عملیات حسابی روی اعداد مختلط به صورت جبری.

حسابی nفضای برداری بعدی سی n. سیستم های معادلات خطی، ماتریس ها و دترمینال ها به پایان رسیده است سی .

استخراج جذر اعداد مختلط به صورت جبری

حلقه باقیمانده مدول nنشان دادن یا. گروه ضربی آن، مانند حالت کلی گروه های عناصر معکوس حلقه ها، با نشان داده می شود. ∗ × × .

ساده ترین مورد

برای درک ساختار گروه، می‌توان حالت خاص را در نظر گرفت، جایی که عدد اول است، و آن را تعمیم داد. بیایید ساده ترین مورد را در نظر بگیریم که .

قضیه: - گروه حلقوی.

مثال : یک گروه را در نظر بگیرید

پرونده عمومی

برای در نظر گرفتن حالت کلی، لازم است یک ریشه اولیه تعریف شود. یک مدول ریشه اولیه a اول عددی است که همراه با کلاس باقیمانده خود، یک گروه ایجاد می کند.

در مورد یک ماژول کامل، تعریف یکسان است.

ساختار گروه با قضیه زیر مشخص می شود: اگر p یک عدد اول فرد و l یک عدد صحیح مثبت باشد، ریشه های اولیه مدول، یعنی یک گروه حلقوی وجود دارد.

مثال

سیستم داده شده از باقیمانده های مدول از کلاس های باقی مانده تشکیل شده است: . با توجه به ضرب تعریف شده برای طبقات باقیمانده، آنها یک گروه را تشکیل می دهند و همچنین متقابلاً معکوس هستند (یعنی ⋅ و همچنین معکوس آنها هستند.

ساختار گروه

نماد به معنای "گروه چرخه ای از مرتبه n" است.

کاربرد

در سختی، مزرعه، هولی، . وارینگ قضیه ویلسون را فرموله کرد و لاگرانژ آن را ثابت کرد. اویلر وجود ریشه های اولیه را مدول یک عدد اول پیشنهاد کرد. گاوس این را ثابت کرد. آرتین فرضیه خود را در مورد وجود و کمیت اعداد اول مطرح کرد، مدول که یک عدد صحیح یک ریشه بدوی است. بروور به مشکل وجود مجموعه ای از اعداد صحیح متوالی کمک کرد که هر کدام kth power mod p هستند. بیلهرز مشابه حدس آرتین را ثابت کرد. هولی حدس آرتین را با فرض اعتبار فرضیه بسط یافته ریمان در فیلدهای اعداد جبری اثبات کرد.

یادداشت

ادبیات

• ایرلند ک.، روزن ام.مقدمه ای کلاسیک بر نظریه اعداد مدرن. - م.: میر، 1366.
• Alferov A.P.، Zubov A.Yu.، Kuzmin A.S. چرموشکین A.V.مبانی رمزنگاری. - مسکو: "Helios ARV"، 2002.
• روستوفتسف A.G.، Makhovenko E.B.رمزنگاری نظری - سن پترزبورگ: NPO "Professional"، 2004.

همانطور که در §5 نشان داده شده است، رابطه مدول مقایسه پذیری m دارای خواص بازتابی، تقارن و گذر است. بنابراین یک رابطه هم ارزی یک عدد صحیح دلخواه است. اجازه دهید مجموعه اعداد قابل مقایسه با یک مدول m را با o نشان دهیم: Let. بذار الان باشه و غیره. این فرآیند تا زمانی ادامه می یابد که مجموعه های ساخته شده کل مجموعه اعداد صحیح را پوشش دهند. در این حالت، یک تقسیم از مجموعه Z به مجموعه های a بوجود می آید. b, c,.. که به آنها کلاسهای باقیمانده modulo m می گویند. هر عددی که در هر یک از کلاس ها قرار می گیرد، باقیمانده این کلاس نامیده می شود. تعداد طبقات باقیمانده مدول m برابر است با m در واقع، باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح بر m یکی از مقادیر m - 2 یا m - 1 را می گیرد و بنابراین هر یک از اعداد در یکی از کلاس های 01 قرار می گیرند. که تعداد آنها برابر با m است. با گرفتن یک عدد از هر کلاس باقیمانده، سیستمی از نمایندگان طبقات باقیمانده، یا یک سیستم کامل از باقیمانده ها را بدست می آوریم. مثال 1 مدول 7: لم 3. اعداد xm یک سیستم کامل از باقیمانده های مدول m را تشکیل می دهند اگر و فقط اگر به صورت جفتی مدول m غیرقابل مقایسه باشند. بیایید کفایت را ثابت کنیم. اگر دو عدد مدول قابل مقایسه نباشند، در کلاس‌های باقیمانده مختلف قرار می‌گیرند. از آنجایی که m کلاس کل باقیمانده ها وجود دارد و اعداد مورد بررسی mn هستند، آنها یک سیستم کامل از باقیمانده ها را تشکیل می دهند. لم 4. فرض کنید xm یک سیستم کامل از باقیمانده‌ها مدول m، یک عدد صحیح یک coprime به m، b یک عدد صحیح دلخواه باشد. سپس اعداد axi + 6، ax2 + b، ..axm -f b نیز یک سیستم کامل از باقیمانده ها را تشکیل می دهند. با توجه به لمای 3، کافی است تأیید کنیم که فرض کنید (که منجر به تناقض شود) تعریف کلی رابطه و ویژگی های آن در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت - در فصل LXVIII. توجه داشته باشید که نظریه اعداد منبع بسیاری از مثال های مهم برای جبر عمومی است. پارتیشن بندی یک مجموعه، آن را به عنوان اتحادیه ای از زیرمجموعه های متمایز جفتی نشان می دهد. سپس a(xi-xj) \my و از (o, m) = 1، (Xi-Xj) m داریم که با لم 3 در تضاد است. لم 5. اجازه دهید x = a(modm). سپس (سیستم های باقیمانده m در واقع، اجازه دهید r باقیمانده تقسیم o بر m باشد. سپس، توسط لم 2) اما از آنجایی که x = a(mod m)، وقتی بر m تقسیم می شود، "elog" باقیمانده r دارد. و بنابراین، (i,t) = (r,t)، که از آن خواسته شده است. مدول باقی مانده m داده شده نامیده می شود اگر آن را coprime به اصطلاح. مجموعه کسورات کاهش یافته از طبقات مختلف کسر سیستم کاهش یافته کسر نامیده می شود. مثال 2. برای m = 7، سیستم کاهش یافته باقیمانده ها ممکن است به این صورت باشد: سیستم های باقیمانده تابع اویلر (p(t) تعداد اعداد طبیعی است که از m تجاوز نمی کنند و متقابلاً به m ساده هستند. برای مثال، . به راحتی می توان فهمید که اگر p یک عدد اول باشد، واضح است که سیستم کاهش یافته مدول m شامل اعداد 6 است همچنین یک سیستم کاهش یافته از باقیمانده ها را تشکیل می دهند. از آنجایی که اعداد o و X( همزمان با m هستند، حاصلضرب ax* دارای ویژگی یکسانی است. بر اساس لم 4، اعداد ax\, ax2,... متعلق به کلاس های مختلف هستند. از باقی مانده ها، و بنابراین، به موجب قبلی، آنها یک سیستم کاهش یافته از باقی مانده ها را تشکیل می دهند.